Exponenciálne funkcie

V nasledujúcich príkladoch budeme vyšetrovať priebeh exponenciálnych funkcií a kresliť ich grafy. Sú to funkcie definované predpisom $$y = a^x,$$ kde $a > 0$ je pevne zvolené reálne číslo.

Pri vyšetrovani priebehu každej takejto funkcie nás tu zaujímajú predovšetkým tieto informácie:

• obor definície funkcie;
• intervaly, na ktorých je funkcia monotónna;
• asymptoty grafu funkcie;
• globálne a lokálne extrémy funkcie;
• nulové body funkcie.

Dokumentácia:

• Exponents and logarithms

import numpy as np
%matplotlib inline
import matplotlib.pyplot as plt
from maux import *

Príklad

Vyšetrenie priebehu a nakreslenie grafu funkcie $$y = \mathrm{e}^x$$ Zostrojenie dotyčnice pre graf funkcie v bode $x = 1$.

#### vstupné údaje
def f(X): return np.e**X
X = np.linspace(-2, 2, 4*10+1)
Y = f(X)

#### obrázok s dvoma diagramami
fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(nrows=1, ncols=2, sharex=True, sharey=True)
fig.set_size_inches(18, 6)

### 1. diagram
init_subplot(ax1)
ax1.set_title(r"Graf funkcie $y = \mathrm{e}^x$")

## graf funkcie
ax1.plot(X, Y)

### 2. diagram
init_subplot(ax2)
ax2.spines['bottom'].set_color('none')
ax2.set_title("Priebeh funkcie")

## intervaly, na ktorých je funkcia monotónna
ax2.plot(X, Y, label="rastúca")

## asymptota so smernicou v bode -∞
Ax1 = X
Ay1 = np.zeros(len(X))
ax2.plot(Ax1, Ay1, 'k--', lw=1, label="asymptota")

## dotyčnica
T = np.e * X
XT = ax2.plot(X, T, label="dotyčnica")
ax2.plot(1, np.e, 'o', c=XT[0].get_color())
ax2.annotate(r"$[1,\mathrm{e}]$", xy=(1, np.e), va='top')

## zvyšné nastavenia
ax2.legend()
ax2.grid()

### spoločné nastavenie pre oba diagramy
plt.ylim(-2, 8)

### archivácia obrázka
#plt.savefig("ex03_2_1.png")

### samotné zobrazenie
plt.show()
plt.close('all')

Úloha

Nakreslite do jedného obrázka grafy týchto exponenciálnych funkcií $$y = a^x$$ pre $a = \frac{1}{3}, \frac{1}{2}, 1, 2, 3$.

Príklad

To isté ako v predchadzajúcom príklade, len vykreslenie sa deje pomocou interaktívnych prvkov knižnice ipywidgets.

Ďalšie informácie:

• Domovská stránka projektu

#### vstupné údaje
def f(X, a): return a**X
X = np.linspace(-2, 2, 4*20+1)

#### obrázok s grafom exponenciálnej funkcie
def plot_exp(a):
    fig, ax = plt.subplots()
    init_subplot(ax)
    ax.set_title(r"Graf funkcie $y = {:.2g}^{{x}}$".format(a))
    ax.plot(X, f(X, a))
    ax.grid()
    plt.ylim(0, 4)
    plt.show()
    plt.close('all')

#### interaktívne vykreslenie obrázka
import ipywidgets as widgets
widgets.interact(plot_exp, 
                 a=widgets.SelectionSlider(
                     options={'1/3': 1/3, '1/2': 1/2, '1': 1, '2': 2, '3': 3}, 
                     value=1, 
                     description="Báza:"));

Úloha

Vyšetrite priebeh a nakreslite graf funkcie $$y = 1 + \mathrm{e}^{-x}.$$ Zostrojte dotyčnicu grafu funkcie v bode $x = 0$.

Úloha

Vyšetrite priebeh a nakreslite graf funkcie $$y = \frac{\mathrm{e}^{x} - \mathrm{e}^{-x}}{2}.$$ Zostrojte dotyčnicu grafu funkcie v bode $x = 2$.

Úloha

Vyšetrite priebeh a nakreslite graf funkcie $$y = \frac{\mathrm{e}^{x}+1}{\mathrm{e}^{x}-1}.$$ Zostrojte dotyčnicu grafu funkcie v bode $x = -1$.

Úloha (5 bodov)

Vyšetrite priebeh a nakreslite graf funkcie $$y = \frac{1}{3}2^{1-3x} + 2.$$ Zostrojte dotyčnicu grafu funkcie v bode $x = 0$.